La sucesión de Fibonacci

Consideremos la siguiente sucesión de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

 Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55.

 Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci"*.

*Es el sobrenombre con el que se conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros la ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente al romano. 

La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de esta sucesión:

 

t1	t2	t3	t4	t5	t6	t7	t8	t9	t10	t11	t12	t13	t14
1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

• Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto (1+1+2+3   + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te sale el séptimo (1+1+2+3+5     +  1 = 13).
• Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t₁,t₃,t₅) sale el sexto término (t₆), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t₁,t₃,t₅,t₇) sale el octavo término (t₈), (1+2+5+13 = 21).
• Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t₂,t₄,t₆) y añades 1, sale el séptimo término (t₇), (1+3+8   + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t₂,t₄,t₆,t₈) y añades 1, sale el noveno término (t₉), (1+3+8+21  +  1 =34).

¡Aún las hay más difíciles de imaginar! 

• Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t₄=3 y t₅=5; elevando al cuadrado y sumando: 3²+5²=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de la sucesión. Tomando t₆=8 y t₇=13; elevando al cuadrado y sumando: 8²+13²=64+169=233 que es el (6+7) decimotercer término de la sucesión.
• Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término: 1²+1²+2²+3²+5²=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del  sexto y el séptimo término:1²+1²+2²+3²+5²+8²=104=8*13.
• Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:

1  : 1   =  1   
   2  : 1   =  2
   3  : 2   =  1´5
   5  : 3   =  1´66666666
   8  : 5   =  1´6
  13 : 8   =  1´625
  21 :13  =  1´6153846....
  34 :21  =  1´6190476....
  55 :34  =  1´6176471....
  89 :55  =  1´6181818....

 Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a =1,61803.... En lenguaje matemático,

Efectivamente,