Curiosidades áureas

Potencias. Los números guardan unas curiosas relaciones entre si. Efectivamente, podemos deducirlas a partir de la ecuación que tiene como solución el número de oro:

Potencias 2. Consideremos la sucesión de término general: . Si calculamos los primeros términos, podemos observar una curiosa relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias

podemos concluir que la sucesión dada se convierte en

Evidentemente, cada término a partir del tercero se puede obtener sumando los dos anteriores. Lo curioso es que esta relación es la misma que se verifica en la sucesión de Fibonacci.

Limites. Comprobemos que los siguientes límites dan como resultado el número de oro:
                                     1                               2
                   

1. Llamemos "L" al valor del límite. Fácilmente se comprueba que se verifica la ecuación . Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación final . Una de las soluciones de esta ecuación es nuestro número de oro .

2. Sea "M" el valor del límite. Se comprueba la relación . Quitando denominadores y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación cuya solución positiva es el número de oro.